[msg#wsiki]
問題
\(\vec{a}, \vec{b}\)は、平面上のベクトルで共に長さは１である。
\(\vec{a}, \vec{b}\)のなす書角が45°のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+x \vec{b}|-|\vec{a}|}{x}\)
を求めよ。
解答（解き方）
ベクトルで表現されている問題ですが、極限を求める式のなかでベクトルは長さに置き換わっていますので、式の値は実数になります。
平面上のベクトルですから、x座標、y座標をつかって表してもよいですが、
発展性を求めてできるだけ座標にとらわれず解いてみます。
具体的には、ベクトルの長さには、内積と相性がよいので、それを駆使します。
\(\vec{x}と\vec{y}\)と内積の記号は、\((\vec{x},\vec{y})\)と、\(\vec{x} \cdot \vec{y} \)
がありますが、ここでは、\((\vec{x},\vec{y})\)を使います。
公式は、
ベクトルの長さと内積の関係（\(\vec{x}と\vec{y}\)のなす角をθとする）
\((\vec{x},\vec{y})=|\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta\)
とくに、\((\vec{x},\vec{x})=|\vec{x}|^2\)
\(|\vec{x}|=\sqrt{(\vec{x},\vec{x})}\)
\( |\vec{a}|=|\vec{b}|=1\)
\(\displaystyle (\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}||\vec{b}|\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\((\vec{a}+x\vec{b},\vec{a}+x\vec{b})\)
\(=|\vec{a}|^2+2x(\vec{a},\vec{b}) + x^2|\vec{b}|^2\)
\(=1+\sqrt{2}x + x^2\)
この関係式から、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+x \vec{b}|-|\vec{a}|}{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{2}x + x^2}-1}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}x + x^2}{x(\sqrt{1+\sqrt{2}x + x^2}+1)}\)
もう、ここまでくれば、極限を求められます。
答え
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+x \vec{b}|-|\vec{a}|}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{1+\sqrt{2}x + x^2}+1}\)
\(\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
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