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11.関数の極限に関する問題
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x^{2n+1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\)
が全ての点で連続となるように\(\displaystyle a,b\)を定めよ。
12.指数が等差数列となっている等比数列の無限級数の収束判定
\(\displaystyle x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots\)
を初項-1,公差がd(≠0)の等差数列とする。
a>1に対して、
\(\displaystyle a^{x_1},a^{x_2},a^{x_3},\cdots,a^{x_n},\cdots\)
のはじめのn項の和が\(\displaystyle 1-a^{nd}\)であった。
無限級数
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a^{x_n}\)
の収束、発散を調べ、収束ならその和を求めよ。
13.無限級数の和に関する問題（基本）
無限級数
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^n} \sin \frac{n \pi }{2} \)
が収束するためのaの値と、そのときの和を求めよ。
14.無限級数の複合問題（平面図形）
原点Oを中心とする単位円周上に、次の(i)､(ii）を満たす点列\(P_0,P_1,P_2\cdots\)がある。
ただし、\(P_0\)の座標は(１，０）とする。
(i) \(∠P_0OP_n\)はnと共に単調に増大し、\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} ∠P_0OP_n=2\pi\)である。
(ii) 数列\(\left\{∠P_0OP_n \right\} \) (n=1,2,…)は初項θ(θ>0)、公比r(r>0)の等比数列である。
扇形\( P_{n-1}OP_n \)の面積を\(S_n\)とするとき、
\(\displaystyle \frac{4}{7}\pi=S_1+S_4+S_7+\cdots +S_{3n-2}+\cdots \)
となるrを求めよ。
15.無限級数の複合問題（立体図形）
１辺がaの正四面体に内接する球S1の半径を求めよ。
次に、この正四面体の３つの面と球S1に接する球をS2とし、同じ３つの面と球S2に接する球をS3とし、順次このようにして小さくなる球をS1,S2,S3,…,Sn,…とする。
このとき、球S1,S2,S3,…,Sn,…との体積の和を求めよ。
16.無限級数の逆数の和を求める問題
無限数列{an}の第n項までの和が1-pnで表されるとする。
p>1のとき、次のおのおのの和を求めよ。
（１）
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}\)
（２）
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}\)
17.等差数列と等比数列の積からできる無限級数の和
次の無限級数の和を求めよ。
（１）
\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{4}{3^2}+\frac{7}{3^4}+\frac{10}{3^4}+\cdots \)
（２）
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n-1}{5^n}\)
（３）
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot k}{2^k}\)
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その他の微分積分に関する問題
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