三角形の底辺を等分した長さに関する極限

[msg#wsiki]

問題

三角形ABCにおいてBC=a,CA=b,AB=cとする。

BCをn等分する点をP₁,P₂,…,P_n-1としP_n=Cとする

このとき、

\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}(AP_1^2+AP_2^2+\cdots+AP_n^2) \)

を求め、これをa,b,cで表わせ。

AP_kをa,b,cを用いて表し極限を求めます。

ここでは余弦定理をつかってAP_kを求めます。

（ベクトルをつかって長さを求めるやり方もあります。）

三角形ABP_kに注目し、線分AP_kが角Bの対辺であることから、

余弦定理より、

\(\displaystyle AP_k^2=AB^2+BP_k^2-2 AB \cdot BP_k \cdot \cos B \)

また、

\(\displaystyle \cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\)
（三角形ABCについての余弦定理）

\(\displaystyle AP_k=k\frac{a}{n}\)

から問題文の式がa,b,c,nで表すことができ、極限が求められる。

余弦定理より、

\(\displaystyle AP_k^2=AB^2+BP_k^2-2 AB \cdot BP_k \cdot \cos B \)

\(\displaystyle =c^2+\left(\frac{ka}{n}\right)^2-2 c \cdot \frac{ka}{n} \cdot \cos B\)

であるから、

\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}(AP_1^2+AP_2^2+\cdots+AP_n^2) \)

\( \displaystyle =\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \left( c^2+\frac{a^2}{n^2}k^2- \frac{2ac}{n} \cos B \cdot k \right) \)

\( \displaystyle =\lim_{n \rightarrow \infty} c^2+\frac{a^2(n+1)(2n+1)}{6n^2}- {2ac} \cos B \frac{n+1}{2n} \)

\( \displaystyle = c^2+\frac{a^2}{3}- {ac} \cos B \)

\( \displaystyle = c^2+\frac{a^2}{3}- \frac{c^2+a^2-b^2}{2} \)

\( \displaystyle = \frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{6}+ \frac{b^2}{2} \)

\( \displaystyle \frac{b^2}{2}+ \frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{6} \)

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