漸化式数列の極限問題と解き方(階差数列あり)3問

[msg#wsiki]

問題

次の漸化式から
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n$を求めよ。

$a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=(1+k)a_{n+1}-ka_n$

 

 

解き方

a_nは、隣接三項間漸化式ですから、普通にa_nの一般項を求めて極限を求めます。

ただ、変数kがあるので、計算がややこしそう・・・

と思いきや、変形すると、

$a_{n+2}-a_{n+1}=k(a_{n+1}-a_n)$

となって、なんともありがたい形に変形できるように問題は作られています。

$a_{n+2}-a_{n+1}=(a_2-a_1)k^n$

階差数列の一般項が求められていますから、一般項も求めることができます。

a₂-a₁=1,a₁=0に注意すると

$a_{n+2}=(a_2-a_1)k^n+(a_2-a_1)k^{n-1}+\cdots+(a_2-a_1)+a_1$
$=k^n+k^{n-1}+\cdots+1$

ｋ=1のとき、n+1

ｋ≠1のとき

$\displaystyle =\frac{k^{n+1}-1}{k-1}$

となります。

 

 解答

a_nの一般項は、

$\displaystyle a_n=n-1$(k=1の時)

$\displaystyle a_n=\frac{k^{n-1}-1}{k-1}$(k≠1の時)

であるから、この一般項の極限を求めれば良い。

 

(1)k=1のとき、

a_n=n-1

であるから∞に発散する。

 

(2)|k|>1のとき

$\displaystyle a_n=\frac{k^{n-1}-1}{k-1}$

であるから、∞に発散する。

 

(3)|k|<1のとき

$\displaystyle a_n=\frac{k^{n-1}-1}{k-1}$

であるから、$\displaystyle \frac{1}{1-k}$に収束する。

 

(4)k<-1のとき

$\displaystyle a_n=\frac{k^{n-1}-1}{k-1}$

であるから、発散(振動)する

 

 

 

 

問題

次の漸化式から$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n$を求めよ。

$a_1=1,3a_{n+1}=a_n-2^n$

 

 

解き方

この問題は、数列a_nの一般項を求めるところが肝になっています。

じょうずに漸化式の形みて既知の数列に帰着させます。

2ⁿがじゃまです。2ⁿでわってanに丸め込みます。

$6a_{n+1}/2^{n+1}=a_n/2^n-1$

$b_n=a_n/2^n$とおくと、

$6b_{n+1}=b_n+1$

2項隣接漸化式になりました。

$b_{n+1}-1/5=(1/6)(b_n-1/5)$

 

$b_n-1/5$は等比数列でから、

一般項が求められます。

 

 

 解答

$b_n=a_n/2^n$とおくと、

$b_{n+1}-1/5=(1/6)(b_n-1/5)$

であるから、

$b_n-1/5=(3/5)(1/6)^{n-1}$

$b_n=1/5+(3/5)(1/6)^{n-1}$

$a_n=2^n/5+(1/5)(1/3)^{n-2}$

 

ここで、

$2^n/5 \rightarrow \infty$
$(1/5)(1/3)^{n-2}\rightarrow 0$

より、a_nは∞に発散する。

 

答え

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=\infty$

 

 

 

 

問題

次の漸化式から$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n$を求めよ。

$\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+3}$

 

 

解き方

この問題は、数列a_nの一般項を求めるところが肝になっています。

逆数の数列を考えます。

$b_{n+1}=1/a_n$
とおくと

$b_{n+1}=3b_n+2$

となって隣接2項間漸化式になります。

 

 解答

$b_{n+1}=1/a_n$
とおくと

$b_{n+1}+1=3(b_n+1)$

より、

$b_{n+1}=2 \cdot 3^{n-1}-1$

よって、

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}-1}$

この数列は0に収束する。

 

答え

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0$

 

別解

裏でa=a/(2a+3)をといてa=0,-1を得ておきます。

$a_n-0,a_n+1$を求め比を取ります。

$a_n-0=a_n$です。

$\displaystyle a_{n+1}+1$
$\displaystyle =\frac{a_n}{2a_n+3}+1$
$\displaystyle =3\frac{a_n+1}{2a_n+3}$

 

比を計算します。

 

$\displaystyle \frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}}$
$\displaystyle = \frac{a_n/(2a_n+3)}{3(a_n+1)/(2a_n+3)}$
$\displaystyle = 3\frac{a_n+1}{a_n}$

つまり、
数列
$\displaystyle \frac{a_n+1}{a_n}$
は初項２、公比3の等比数列です。

$\displaystyle \frac{a_{n}+1}{a_{n}}=2 \cdot 3^{n-1}$

この式を$a_n$について解くと、一般項がわかり極限がわかります。

 

 

 

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猫野の解析は

鉄則微分・積分
をテキストとして使っています。

鉄則ゼミ４の問題を解いています。