友愛数は約数の和が同じ

友愛数（ゆうあいすう、英: amicable numbers）

親和数とも呼ばれる友愛数とは、以下の条件を満たしている二つの自然数の組のことです。

「友愛数の条件：自分自身を除いた約数の和が互いに相手の数と同じになっている」

（220,284)が数字が最小の例です。

220,284を素因数分解すると、

220=2²*5*11
284=2²*71

となりますから、それぞれの約数の和は、

220の約数の和-220
＝(1+2+4)(1+5)(1+11)-220
=284

284の約数の和-284
=(1+2+4)(1+71)-284
=220

(220,284)は、友愛数であるわけです。

自然数nの約数の総和を約数関数σ(n)で表すことにします。

(a,b)が友愛数であるとすると、
σ(a)-a=b
σ(b)-b=a
となっています。

この式から
σ(a)=σ(b)=a+b
であることがわかります。

したがって、友愛数の定義を下記のように、別の言い方に変えることができます。

二つの自然数a,bの組(a,b)が友愛数であるとは、

{自然数aの約数の和}＝{自然数bの約数の和}=a+b

これから(a,b)が友愛数であれば、aとbの約数の総和は同じであると言えます。

友愛数なら約数の総和は同じでした。逆はどうでしょうか。

自然数aと自然数bの約数の総和がそれぞれ等しかったとします。

σ(a)=σ(b)

このとき、(a,b)は友愛数でしょうか？

答えは、否定的です。

反例として、a=6,b=11など、下記の例が挙げられます。

σ(6)=1+2+3+6=12
σ(11)=1+11=12

6と11は約数の和は12で一致していますが、σ(a)=a+b,σ(b)=a+bの関係を満たしていません。

他にも下記の例があります。

σ(10)=1+2+5+10=18
σ(17)=1+17=18

σ(14)=1+2+7+14=24
σ(15)=1+3+5+15=24

この例からわかるように、非常にたくさんの反例があります。

\(m=2^i a\)
\(n=2^i \cdot b \cdot c\)

\(a=3^2 \cdot 2^{2i-1} -1\)
\(b=3 \cdot 2^{i-1} -1\)
\(c=3 \cdot 2^i -1\)

a,b,c 素数,i≧2

とすると、(m,n)は友愛数である。

i=2のとき、a=17,b=2,c=5,m=284,n=220
i=4のとき、a=1151,b=23,c=47,m=18416,n=17296
i=7のとき、a=73727,b=191,c=383,m=9437056,n=9363584

iを変化させれば、無数に友愛数(m,n)が得られるように思えますが、友愛数(m,n)が友愛数であるためには、a,b,cが素数である必要があります。

一般にa,b,cがすべて素数となるiが無数にあるかどうかわかりませんから、無数に友愛数があるかどうかは、これだけから判断できません。

実際i=3,5,6,8,9ではa,b,cがすべて素数になっていません。素数になるのが珍しい感じです。

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