問題

1は素数か?

回答

1は素数ではありません!

これで終了となりますが。

ちょっとまった

なぜ、1を素数としないのでしょうか。

その疑問にはまったく答えていませんね。


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言葉の定義次第だから、別に素数にしてもかまわない

素数の定義をどうするかの問題であって、1を素数と呼んでもなんら差し支えはありません。

実際、素数の定義を「1とそれ自身でしか約数を持たない数を素数とする」

このような定義であれば、1は素数です。1とそれ自身は1の約数です。

ただし、現在は、「素数とは正の約数が二つだけの自然数」このような定義にして、1を素数から除外する考えが通常です。

理由はいろいろ考えられますが、一番の理由は、命題を書く時にいちいち断り書きをかくのが面倒。ということに尽きるように思います。

たとえば、素因数分解の一意性という定理があります。

もし1を素数として定義しているのであれは、この定理を「全ての自然数は順番を除外するえば、1を除く素数の積としてただ一通りに表すことができる」といちいち「1を除く」と断り書きを書く必要性にかられます。そのほかの素数に関する定理にも、「ただし、1を除く」だとか、「1以外の」だとかの制約を命題に付記することが増えます。

利便性をとったら、1は素数にしないほうがよいだろう、こういうことから1は素数に入れない考えが浸透してきたと考えます。

単数

英語などででてくる、単数形、複数形の単数ではありません。

1の約数のことです。実は1の約数ですが、たしかに正の自然数と制限をつけると1だけです。しかし、正の自然数という条件をはずすと、複数あります。

簡単な例では、-1です。こういった数を単数と呼びます。単数を使えば、全ての整数を

(整数)=(単数)×(素数)×(素数)×・・・×(素数)

の形に順序を除くと一意に表すことができます。こういった標準形を考えると、1は素数と飛ばないほうが自然であると考えることもできます。

整数の概念をもっと広げると、-1以外の単数があります。

まとめ

1は素数と考えず、単数として考える。そのほうが便利。


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