3次方程式の解の公式(一般)

３次方程式のコア部分の証明ができた。

因数分解で解ける３次方程式を解の公式をつかって同じ答えを得た。
これで解の公式が正しいことが検証された。

この公式を使って、一般の３次方程式を解く手順を示す。

３次方程式一般形

一般の３次方程式は、下記の形式に変形できる。

\(c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0=0   (式1)\)
\(c_3 \ne 0,c_2,c_1,c_0 は定数(複素数OK)\)

３次の係数＝1の形にする

これは、式を\(c_3\)で割ればよい。

\(x^3+\frac{c_2}{c_3}x^2+\frac{c_1}{c_3}x+\frac{c_0}{c_3}=0\)

２次の係数＝0の形にする(チルンハウゼン変換)

\((x-\frac{c_2}{3c_3})^3
+(\frac{c_1}{c_3}-\frac{c_2^2}{3c_3^2})(x-\frac{c_2}{3c_3})
+(\frac{c_0}{c_3}-\frac{c_1c_2}{3c_3^2}+\frac{2c_2^3}{27c_3^3})=0\)
である。

\[t=\frac{c_2}{3c_3}\]
\[y=x-t\]
\[a=\frac{c_1}{c_3}-\frac{c_2^2}{3c_3^2}\]
\[b=\frac{c_0}{c_3}-\frac{c_1c_2}{3c_3^2}+\frac{2c_2^3}{27c_3^3}\]
とおくと\(y^3+ay+b=0\)
となって公式からyが求められる。

ごちゃごちゃしているが、単純な多項式計算をしているだけ。

３次方程式の解の公式適用

\[u=-\frac{b}{2}+\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{3}\right)^3}\\
v=-\frac{b}{2}-\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{3}\right)^3}\]

とおくと、公式より解yが求まる。

\[y=\left\{\begin{align*}
\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\\
w\sqrt[3]{u}+w^2\sqrt[3]{v}\\
w^2\sqrt[3]{u}+w\sqrt[3]{v}
\end{align*}\right.\]

ただし、
\[w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}で\]
\[\sqrt[3]{u}\sqrt[3]{v}=-\frac{a}{3}\]
となるよう(※)に、３乗根をとる。

※\(u \ne 0 なら、\sqrt[3]{v}
を、-\frac{a}{3\sqrt[3]{u}}\)
とすればよいので、大した制約ではない。つまり、３乗根は\(u\)
のみ求めればばよい。\(u=0の場合はa=0\)
で、３次方程式の解の公式は正しいか(1)の場合と同じで解は得られる。

\(x=y+tなので\)

\[x=\left\{\begin{align*}
t+\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\\
t+w\sqrt[3]{u}+w^2\sqrt[3]{v}\\
t+w^2\sqrt[3]{u}+w\sqrt[3]{v}
\end{align*}\right.\]

これで一般の３次方程式の解が求められた。

まとめ

\(t,a,b,u,v,\sqrt[3]{u},\sqrt[3]{u}\)
の順に計算すると解が求められる。

感想

よくよく眺めると、見かけよりも案外と単純な形となっている。計算がはなはだ困難なのは、３乗根を求めるところである。

３乗根の計算がかなりの労力をもたらすため、手動で答えを求めるためなら、まずは、解の公式でなく、因数定理から攻めたほうがはるかに楽である。

実用としての解の公式は、簡単には因数分解ができない３次方程式を解くときであるが、それ以上に３次体の構造を調べるときの手がかりとして活躍する。

 

 

次方程式解の公式

係数を用いて３次方程式の解を書き表す公式はある。

参考までに掲載しておく。

 

\( x\)についての三次方程式

\(\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0\)

の解は、下記のように表すことができる。

 

 

 

 

 

 

---

広告