面白そうだったのでついやってみました。

素数の問題(京都大学2016理系数学)

素数p,qを用いてp^q+q^pで表される素数を全てもとめよ。

コメント

問題の意味は簡単そうですね。しかし、式だけみても、どうしたらよいのかさっぱりわかりません。使えそうな公式も思いつきません。

こういう場合は、小さなp,qに対していくつか計算しある程度予測をたてて、予測を証明して攻めていくしかありません。ひらめき、予測力が必要です。

解法

p,qが奇数だった場合は、p^q+q^pは偶数である。これに気がついた瞬間、かなりの希望の光が見えます。なにせ、p,qの片方は2であると絞り込まれるからです。

p=q=2の場合もありえないわけですから、とりあえず、p=2として解を求めます(p,qの対称性からこの仮定はOK)。

問題は簡素化されました。2^q+q^2の形の素数を全て求めよ。

かなり絞り込まれたとはいえ、なかなか糸口が掴めないです。modでうまく絞り込めないかを考えますが、もし絞りきれなければ難問化してしまいます。

先に、偶数奇数(mod2)で考えたので、今度はmod3を試してみます。だめだとしたら、q^2についてはmod4の絞込がよさそうです。3でだめなら4も有効そうです。

まず、mod3で考えます。

1^2≡1 mod(3)

2^2≡1 mod(3)

3^2≡0 mod(3)

4^2≡1 mod(3)

お、平方数はmod3で考えると0か1しかないわけで、1,1,0,1,1,0,…の繰り返し

2のベキの方はというと、

2^1≡2 mod(3)

2^2≡1 mod(3)

2^3≡2 mod(3)

2^4≡1 mod(3)

・・・ 2,1,2,1と繰り返しています。

2^q+q^2をmod2と3で考えるために、qを6の周期で考えればよくて、それぞれの組み合わせに対してmodを計算すると、

2^1+1^2≡2+1≡3  mod(6) 3で割れる

2^2+2^2≡4+4≡2   mod(6) 2で割れる

2^3+3^2≡8+9≡5  mod(6) 素数かも

2^4+4^2≡16+16≡2  mod(6) 2で割れる

2^5+5^2≡32+25 ≡3 mod(6) 3で割れる

2^6+6^2≡64+36≡4  mod(6) 2で割れる

素数の可能性があるのは、

2^3+3^2≡8+9≡5  mod(6)から、q≡3(mod6)に絞り込まれました。

つまり、2^(6n+3)+(6n+3)^2のパターンに絞り込まれました。

q=6n+3、0\le nとおいて、
2^(6n+3)+(6n+3)^2≡8・64^n+36n^2+36n+9が素数になるためには、・・・こういうふうに考えるとドツボにはまります。なにせ、このようなqは無限に存在するので。

そこで、視点を変えて、qが素数であるための条件を考えます。

q≡3(mod6)なので、これがq=3を除くと、qは3で割り切れます。

したがって、q=3のみしかありえません。やったー!

2^3+3^2=17より、

答え17(ただ一つ)

※問題としては答えが2,3個あるかと思っていましたが、答えは1個でした。